Петр Демьянович Успенский

Tertium organum (Часть 1)

Бонола. Неэвклидова

геометрия. СПб., 1910, с. 77.)

Какой же взгляд правилен и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к

нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении.

Неэвклидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвклидова геометрия стоит к

метагеометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия.

Результаты всей неэвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные

аксиомы Эвклида и нашедшей свое наиболее полное выражение в работах Больяйя,

Гаусса и Лобачевского, выражается в формуле: Аксиомы данной геометрии

выражают свойства данного пространства.

Так, геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть:

1. прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;

2. каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее

свойств;

3. параллельные линии не встречаются.

(Эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе).

В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две

первые аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже

встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более

двух прямых, а в геометрии на вогнутой поверхности -- меньше двух прямых.

В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая

аксиома, вторая -- о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая

в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на

другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух

прямых.

Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода

поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.

Но что такое поверхность?

Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть

основные понятия геометрии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы

переоценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком

случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как

геометра, была только средством обобщения некоторых свойств, в которых

строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств

данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем

не думал.

Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который

приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и близость к

'сенсуализму' и 'обычному эмпиризму', -- а с другой стороны, можно думать,

что Хинтон совершенно субъективно приписывает Гауссу и Лобачевскому, что они

открыли новую эру в философии.

Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет

никакого отношения к метагеометрии.

Лобачевский не выходит из сферы трех измерений.

Метагеометрия рассматривает сферу трех измерений как разрез высшего

пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший

отношение времени к пространству.

Точка трехмерного пространства есть разрез метагеометрической линии.

Линии, которые рассматривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой

поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения

различия геометрии (эвклидовой и неэвклидовой) и метагеометрии.

Метагеометрические линии нельзя рассматривать как расстояние между точками в

нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры

в нашем пространстве.

Рассмотрение возможных свойств линий, лежащих вне нашего пространства,

их углов и отношений этих линий и углов к линиям, углам, поверхностям и

телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.

Исследователи неэвклидовой геометрии не могли решиться отойти от

поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие

поверхности придумывал Лобачевский при своих исследованиях 11-го постулата

Эвклида (о параллельных линиях, то есть собственно об углах, образуемых

линией, пересекающей две параллельные) -- одна из его поверхностей похожа на

поверхность лопастей вентилятора*, другая на поверхность воронки. Но отойти

от поверхности совсем, бросить ее раз и навсегда, представить себе, что

линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или

близких к параллельным не может быть обобщен ни в какой поверхности и даже